Nếu một toán tử tuyến tính có đồ thị đóng và được định nghĩa trên toàn bộ không gian Hilbert, thì, bởi định lý đồ thị đóng(closed graph theorem) trong lý thuyết về không gian Banach, nó là bị chặn. Tuy nhiên, nếu như ta cho phép định nghĩa một ánh xạ tuyến tính trên một không gian con thật sự nhỏ hơn không gian Hilbert, thì chúng ta có thể có những toán tử không bị chặn.

Trong vật lý lượng tử, một số toán tử không bị chặn thú vị được định nghĩa trên một không gian con trù mật của không gian Hilbert. Có thể định nghĩa được toán tử tự liên hợp không bị chặn, và những thứ này đóng vai trò có thể quan sát được trong sự công thức hóa toán học của cơ học lượng tử.

Các ví dụ về các toán tử self-adjoint không bị chặn trên không gian Hilbert L2(R) là:

• Một mở rộng thích hợp của toán tử vi phân

[ A f ] ( x ) = i d d x f ( x ) , {\displaystyle [Af](x)=i{\frac {d}{dx}}f(x),\quad } trong đó i là đơn vị ảo và f là một hàm số khả vi có giá compact.

• Toán tử nhân với x:

[ B f ] ( x ) = x f ( x ) . {\displaystyle [Bf](x)=xf(x).\quad }

Những toán tử này lần lượt tương ứng với động lượng và vị trí có thể quan sát được. Chú ý rằng cả A lẫn B đều không được định nghĩa trên toàn bộ H, bởi vì trong trường hợp của A vi phân không cần phải tồn tại, và trong trường hợp của B hàm tích không cần thỏa tích bình phương là hữu hạn. Trong cả hai trường hợp, tập hợp tất cả các tham số có thể tạo thành các không gian con trù mật của L2(R).